\newcommand{\real}{\hbox{\bf R}}

\label{sect:enunciado}

\begin{centering}
\bf Laboratorio de M\'etodos Num\'ericos - Segundo cuatrimestre 2007 \\
\bf Trabajo Pr\'actico N\'umero 2: Estamos en el horno \\
\end{centering}

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Consideremos la secci\'on horizontal de un horno de acero cil\'\i ndrico,
como en la Figura 1. El sector A es la pared del horno, y el sector B es el
horno propiamente dicho, en el cual se funde el acero a temperaturas
elevadas. El borde externo de la pared es un c\'\i rculo, pero el borde
interno de la pared -que coincide con el borde del sector B- no
necesariamente tiene forma circular.

Un problema fundamental que debe considerarse cuando se utiliza este tipo
de hornos es la temperatura en el borde externo de la pared. Este valor
es cr\'\i tico, dado que si se prev\'e que la temperatura en el borde ser\'a
demasiado elevada, no se debe poner en funcionamiento el horno por el peligro
de roturas en la pared. Dado que el horno propiamente dicho (sector B) no
tiene forma circular, el c\'alculo de la temperatura en el borde externo
de la pared no es inmediato.

\begin{figure}[h]
\centering
%\includegraphics[scale=1.3]{tp2.eps} \\
\includegraphics[scale=1]{tp2.png}
\caption{Secci\'on del horno}
\end{figure}

El objetivo del trabajo pr\'actico es implementar un programa que permita
calcular la temperatura en las paredes exteriores de un horno como el de
la figura, conociendo la forma y la temperatura de su interior. Suponemos
que la temperatura del acero dentro del horno es constante (es decir, dentro
del sector B la temperatura es una funci\'on constante).

\textbf{El modelo}

Sea $r_e\in\real$ el radio exterior de la pared y sea $r_i:[0,2\pi]\to\real$
el radio interior de la pared, que suponemos dependiente del \'angulo (de
manera tal que $r_i(\theta)$ es la distancia desde el centro hasta el
borde del sector B en el \'angulo $\theta\in[0,2\pi]$). Llamemos $T(r,\theta)$
a la temperatura en el punto dado por las coordenadas polares $(r,\theta)$,
siendo $r$ el radio y $\theta$ el \'angulo polar de dicho punto. En el estado
estacionario (luego de un tiempo suficientemente largo de operaci\'on del
horno), esta temperatura satisface la ecuaci\'on del calor:
\begin{equation}
\frac{\partial^2 T(r,\theta)}{\partial r^2} + \frac{1}{r}
\frac{\partial T(r,\theta)}{\partial r} + \frac{1}{r^2}
\frac{\partial^2 T(r,\theta)}{\partial \theta^2} \ =\ 0 \label{calor}
\end{equation}
Llamemos $T_i\in\real$ a la temperatura en el interior del horno (sector B)
y $T_{\infty}\in\real$ a la temperatura ambiente. Denotamos por $K\in\real$
a la conductividad t\'ermica de la pared del horno, y por $h\in\real$ al
coeficiente de transferencia de calor del borde de la pared. Las condiciones
de contorno del problema est\'an dadas por:
\begin{eqnarray}
T(r_i(\theta),\theta) & = & T_i \label{interior} \\[4pt]
-K \frac{\partial T(r_e,\theta)}{\partial r} & = & h( T(r_e,\theta) - T_{\infty}) \label{exterior}
\end{eqnarray}
La condici\'on (\ref{interior}) especifica que la temperatura en el borde
interior del horno debe ser igual a la temperatura del acero en fundici\'on,
mientras que la condici\'on (\ref{exterior}) solicita que el flujo de calor
por el borde sea proporcional a la diferencia de temperaturas entre el
borde exterior de la pared y el ambiente.

El problema en derivadas parciales dado por la ecuaci\'on (\ref{calor})
con condiciones de contorno (\ref{interior}) y (\ref{exterior}) permite
encontrar la funci\'on $T$ de temperatura en la pared del horno (sector A),
en funci\'on de los datos mencionados en esta secci\'on.

\textbf{La resoluci\'on}

Para resolver este problema computacionalmente, discretizamos el dominio
del problema (el sector A) en coordenadas polares. Consideremos una
partici\'on $0=\theta_0 < \theta_1 < \dots < \theta_n = 2\pi$ en $n$
\'angulos discretos con $\theta_k - \theta_{k-1} = \Delta\theta$ para
$k=1,\dots,n$, y una partici\'on $0 = r_0 < r_1 < \dots < r_m = r_e$
en $m+1$ radios discretos con $r_j-r_{j-1} = \Delta r$ para $j=1,\dots,m$.

El problema ahora consiste en determinar el valor de la funci\'on $T$ en los
puntos de la discretizaci\'on $(r_j, \theta_k)$ que se encuentren dentro
del sector A. Llamemos $t_{jk} = T(r_j, \theta_k)$ al valor
(desconocido) de la funci\'on $T$ en el punto $(r_j, \theta_k)$.

Para encontrar estos valores, transformamos las ecuaciones (\ref{calor})
y (\ref{exterior}) en un conjunto de ecuaciones lineales sobre las
inc\'ognitas $t_{jk}$, evaluando (\ref{calor}) en todos los puntos de la
discretizaci\'on que se encuentren dentro del sector A y evaluando
(\ref{exterior}) en todos los puntos de la discretizaci\'on que se encuentren
en el borde exterior de la pared. Al hacer esta evaluaci\'on, aproximamos
las derivadas parciales de $T$ en (\ref{calor}) y (\ref{exterior}) por medio
de las siguientes f\'ormulas de diferencias finitas:
\begin{eqnarray}
\frac{\partial^2 T(r,\theta)}{\partial r^2}(r_j,\theta_k) & \cong & \frac{t_{j-1,k} - 2t_{jk} + t_{j+1,k}}{(\Delta r)^2} \nonumber \\[4pt]
\frac{\partial T(r,\theta)}{\partial r}(r_j,\theta_k) & \cong & \frac{t_{jk} - t_{j-1,k}}{\Delta r} \nonumber \\[4pt]
\frac{\partial^2 T(r,\theta)}{\partial \theta^2}(r_j,\theta_k) & \cong & \frac{t_{j,k-1} - 2t_{jk} + t_{j,k+1}}{(\Delta\theta)^2} \nonumber
\end{eqnarray}
Para cada \'angulo $\theta_k$, llamamos $g_k$ al menor radio tal que el
punto $(g_k, \theta_k)$ se encuentra dentro del sector A. Es importante
notar que el valor de la inc\'ognita $t_{g_k k}$ es conocido, dado que
en la discretizaci\'on el punto $(g_k, \theta_k)$ se encuentra sobre el
borde interior de la pared (es decir, $t_{g_k k} = T_i$).

Al realizar este procedimiento, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales
que modela el problema discretizado. La resoluci\'on de este sistema permite
obtener una aproximaci\'on de los valores de la funci\'on $T$ en los puntos
de la discretizaci\'on.

\textbf{Enunciado}

Se debe implementar un programa que tome como entrada los datos del problema
y que calcule la temperatura en la pared del horno utilizando la t\'ecnica
de resoluci\'on descripta en la secci\'on anterior.

El programa debe tomar los datos de entrada desde un archivo de texto, cuyo
formato queda a criterio del grupo. Es importante mencionar que los
par\'ametros $n$ y $m$ de la discretizaci\'on forman parte de los datos
de entrada. Un elemento importante a definir es la especificaci\'on de la
funci\'on $r_i(\theta)$ en este archivo de entrada, se sugiere que el
programa tome los valores ya discretizados de esta funci\'on.

El programa debe generar el sistema de ecuaciones lineales planteado en
la secci\'on anterior, procediendo a su resoluci\'on por medio de cualquier
m\'etodo directo para la resoluci\'on de sistemas de ecuaciones lineales
(es decir, un m\'etodo no iterativo). El programa debe escribir la soluci\'on
en un archivo, con un formato adecuado para su posterior graficaci\'on.

Se pide realizar experimentos con al menos dos instancias de prueba para
$T_i = 5000$, $T_{\infty} = 30$ y $h/K = 0.05$, generando distintas
discretizaciones para cada una. Se recomienda fijar $r_e=1$ en estas
instancias. Se sugiere que se presenten los resultados de estos experimentos
en forma de gr\'aficos de temperatura o gr\'aficos de curvas de nivel, para
ayudar a la visualizaci\'on de los resultados.

\textit{Agradecemos el asesoramiento de Gabriel Acosta para la preparaci\'on
de este trabajo pr\'actico.}

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Fecha de entrega: Lunes 1 de Octubre


